Algorithme de réflexion, un point sur une ligne

C'est une explication simple de l'Il-Bhima de la solution. L'astuce est d'avis que ce que vous voulez, c'est le projet ce point orthogonalement sur la ligne, le déplacer par beaucoup, et puis de le déplacer une fois de plus, dans la même direction.

Pour ces types de problèmes, il est plus facile de travailler avec un peu plus de représentation redondante pour une ligne. Au lieu de y = m x + b, nous allons représenter la ligne par un point p qui est sur la ligne et un vecteur d dans la ligne de la direction. Appelons ce point p = (0, b), le vecteur d = (1, m), et votre point d'entrée sera p1. La projection du point sur la ligne sera pl et de votre point de sortie p2, alors, est p1 + 2 * (pl - p1) = 2 * pl - p1

La formule que vous avez besoin ici, c'est la projection d'un vecteur v sur une ligne qui passe par l'origine dans la direction d. Elle est donnée par d * <v, d> /<d, d> où <a, b> est le produit scalaire entre deux vecteurs.

Pour trouver pl, nous devons nous déplacer l'ensemble du problème, de sorte que la droite passe par l'origine, par soustraction de p de p1, à l'aide de la formule ci-dessus, et en le déplaçant. Ensuite, pl = p + (d * <p - p1, d> /<d, d>), donc pl_x = p_x + (b * p1_x) /(1 + m * m), pl_y = p_y + (m * p1_x) /(1 + m * m), et ensuite utiliser p2 = 2 * pl - p1 pour obtenir les valeurs finales.

Réflexion peut être trouvé dans les deux étapes. D'abord traduire (maj) tout en b unités, de sorte que le point devient V=(x,y-b) et la ligne devient y=mx. Alors un vecteur à l'intérieur de la ligne est L=(1,m). Calculons maintenant la réflexion de la droite passant par l'origine,

(x',y') = 2(V.L)/(L.L) * L - V

où V.L et L.L sont point des produits et * est scalaire multiples.

Enfin, la touche maj tout en ajoutant b, et la réponse finale est (x',y'+b).

Comme une transformation affine, vous pouvez écrire l'opération ci-dessus que la composition du produit de trois matrices, premier représentant la maj y => y-b, puis la réflexion par la droite passant par l'origine, alors la maj y => y+b:

[ 1 0 0] [(1-m^2)/(1+m^2)      2m/(1+m^2) 0] [ 1 0  0] [x]
[ 0 1 b] [     2m/(1+m^2) (m^2-1)/(1+m^2) 0] [ 0 1 -b] [y]
[ 0 0 1] [             0               0  1] [ 0 0  1] [1]

La situation est très similaire à la rotation des matrices de la géométrie affine. Si vous avez déjà multiplication de matrice de routines disponibles, parce que vous êtes aussi de faire des rotations par exemple, ce pourrait être la plus facile à gérer la mise en oeuvre de réflexions.

Ce lien contient un algorithme qui est similaire à ce que vous essayez de faire:

Qui est de refléter les rayons off normal.

le texte d'alt http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/reflected/diagram.gif

Réflexion d'Un point(x,y) de la droite y=mx+c.

Étant donné un point P(x,y) et une ligne L1 y=mx+c.

Alors P(X,Y) est l'expression de la virgule sur la ligne L1.

Si nous nous joignons le point P à P’ pour obtenir L2 puis gradient de L2=-1/m1 où m1 est dégradé de L1.

  L1 and L2 are perpendicular to each other.
        therefore,
    Get the point of intersection of L1 and L2 say m(a,b)
    Since m(a,b) is the midpoint of PP’ i.e. L2, then
    M= (A+A')/2 
    i.e. m(a,b)=(A(x,y)+ A^' (x^',y^' ))/2.
      from this we can get coordinates of  A^' (x^',y^' )

Exemple

Find the image of point P(4,3) under a reflection in the line  y=x-5
M1=1
M2 will be -1
Equ. L2 with points, (4,3) , (x ,y) grad -1 is
     y=-x+7
Point of intersection say, M(a ,b)
 Note that, L1 =L2 ;
  Then x-5=-x+7
  This gives the point for M that is M( 6,1)
      Then;
         M(6,1)=(P(4,3)+P^' (x^',y^' ))/2
          M(6,1)=[(4+x)/2  ,(3+y)/2]
              This gives x = 8 and y = -1 hence,
                  P^' (x^',y^' )=         P^' (8,-1)