Algorithme pour trouver un arc de cercle, centre, rayon et un angle donné 3 points

Donné 3 points A, B et C

Comment puis-je le trouver et de l'arc qui commence à Un, les extrémités de C et de passer par B; les coordonnées de son centre, rayon et des angles pour r et r' ?

Algorithme pour trouver un arc de cercle, centre, rayon et un angle donné 3 points

Comment allez-vous résoudre le problème lorsque tous les 3 points forment un triangle équilatéral? Je ne suis pas sûr que le problème est spécifié assez bien.
ensuite, vous avez un arc qui est de 2/3 d'un cercle complet
Le cercle est bien définie tant que les points ne sont pas sur une ligne. Mais les points qui vous envisager de "début" et "fin" de l'arc est arbitraire. Oh, et bien sûr r == r'.
Désolé, je n'ai pas lu assez clairement, n'a pas remarqué que A et C ont été spécifiés pour les ordinateurs d'extrémité.

OriginalL'auteur ibrabeicker | 2014-04-01

algorithm math

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Il ya quelques façons de le faire. Voici un algorithme:
1. Obtenir votre COORDS
  
  A = {xA,yA}
  
  B = {xB,yB}
  
  C = {xC,yC}
  
  d = {xd,yd}
2. Calculer la Mi-points, des droites AB et BC
  
  mid_AB = { (xA+xB)/2, (yA+yB)/2 }
  
  mid_BC = { (xB+xC)/2, (yB+yC)/2 }
3. Trouver les pentes des droites AB et BC
  
  slope_AB = (yB-yA)/(xB-xA)
  
  slope_BC = (yC-yB)/(xC-xB)
4. Construire des lignes à travers la mi-points PERPENDICULAIRE à AB et BC (merci à Yves pour attraper le négatif!)
  
  Slope_perp_AB = -(slope_AB)^(-1)
  
  Slope_perp_BC = -(slope_BC)^(-1)
  
  *** Ligne avec Slope_perp_AB traverse mid_AB
  
  *** Ligne avec Slope_perp_BC traverse mid_BC
5. De deux équations égaux les uns aux autres et à résoudre pour trouver l'intersection!
  Cela vous donne le point d={xd,yd} !!!
Calculer le rayon et l'angle est maintenant trivial avec le centre-point d!

Attention, la pente de la perpendiculaire est -1/m, pas de +1/m. Vous devriez préférer la formulation implicite de la ligne des équations, car ils sont plus isotrope et valable pour les horizontales/verticales.
Grande pêche! Je vous remercie. Je mettrai à jour le post.
Pouvez-vous s'il vous plaît écrire une preuve?OIE définir xA,yA,xB,yB,xC,yC,xd,yd show " toutes les mesures nécessaires pour obtenir la carte xd,yd COORDS?Im pas sûr de ce que vous entendez par 'Slope_perp" êtes-vous en divisant par -1? ou à la puissance de -1?? et je ne comprends pas les mathématiques derrière 'Ensemble de deux équations égale les uns des autres" aswhell
Vous devez vérifier que les pentes sont définis. Les dénominateurs pourrait être de zéro.
Démonstration de la l'Équation d'un cercle à partir de 3 points

OriginalL'auteur Joshua
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Le centre du cercle est équidistant des trois points donnés:
```
(X-Xa)^2+(Y-Ya)^2 = (X-Xb)^2+(Y-Yb)^2 = (X-Xc)^2+(Y-Yc)^2
```
Soustrayant le premier membre de la deuxième et de la troisième, on obtient après regroupement:
```
2(Xa-Xb) X + 2(Ya-Yb) Y + Xb^2+Yb^2-Xa^2-Ya^2 = 0
2(Xa-Xc) X + 2(Ya-Yc) Y + Xc^2+Yc^2-Xa^2-Ya^2 = 0
```
Ce système linéaire de deux équations à deux inconnues est facile à résoudre avec la règle de Cramer.

Le rayon et les angles peuvent être trouvés en utilisant le Cartésien-à-polaire transformer autour du centre:
```
R= Sqrt((Xa-X)^2+(Ya-Y)^2)

Ta= atan2(Ya-Y, Xa-X)
Tc= atan2(Yc-Y, Xc-X)
```
Mais il vous manque encore une chose: qu'est-ce que la partie pertinente de l'arc ? Plus petit ou plus grand qu'un demi-tour ? De Ta à Tb ou de Tb à 2 Pi à Ta + 2 Pi, ou quoi ? La réponse est beaucoup moins évidente qu'il paraît, l'essayer (parce que les trois angles Ta, Tb et Tc sont undeterminate à un multiple de 2 Pi et vous ne pouvez pas trier!)

Indication: considérer le signe de l'aire du triangle ABC, c'est précisément la moitié du déterminant du système. Il vous dira si B se trouve sur la gauche ou la droite de l'AC.

OriginalL'auteur Yves Daoust
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Étape 1

Trouver la médiatrice de AB et BC.

Étape 2

Trouver le point où ces lignes sont traversés.

Le point que vous trouverez au centre du cercle que vous voulez.

Étape 3

Calculer la distance d'un des trois points du centre vous avez trouvé à l'Étape 2. Que serait le rayon de vous cercle.

NOTE Les points A, B et C ne doit pas être dans la même ligne. Vous devez vérifier cela, avant d'exécuter les Étapes 1 à 3.

OriginalL'auteur Christos

La solution à cela est presque identique à celle de "cercle de meilleur ajustement pour les non-plus-système déterminé". Puisque vous avez trois points qui sont exactement sur l'arc de l'ancien par le cercle de centre à (0,0) (donné), le système peut être résolu exactement, plutôt que d'exiger des moindres carrés rapprochement.

Finding the Center of a Circle Given 3 Points

Date: 05/25/2000 at 00:14:35
From: Alison Jaworski
Subject: finding the coordinates of the center of a circle

Hi,

Can you help me? If I have the x and y coordinates of 3 points - i.e. 
(x1,y1), (x2,y2) and (x3,y3) - how do I find the coordinates of the 
center of a circle on whose circumference the points lie?

Thank you.

Date: 05/25/2000 at 10:45:58
From: Doctor Rob
Subject: Re: finding the coordinates of the center of a circle

Thanks for writing to Ask Dr. Math, Alison.

Let (h,k) be the coordinates of the center of the circle, and r its 
radius. Then the equation of the circle is:

     (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2

Since the three points all lie on the circle, their coordinates will 
satisfy this equation. That gives you three equations:

     (x1-h)^2 + (y1-k)^2 = r^2
     (x2-h)^2 + (y2-k)^2 = r^2
     (x3-h)^2 + (y3-k)^2 = r^2

in the three unknowns h, k, and r. To solve these, subtract the first 
from the other two. That will eliminate r, h^2, and k^2 from the last 
two equations, leaving you with two simultaneous linear equations in 
the two unknowns h and k. Solve these, and you'll have the coordinates 
(h,k) of the center of the circle. Finally, set:

     r = sqrt[(x1-h)^2+(y1-k)^2]

and you'll have everything you need to know about the circle.

This can all be done symbolically, of course, but you'll get some 
pretty complicated expressions for h and k. The simplest forms of 
these involve determinants, if you know what they are:

         |x1^2+y1^2  y1  1|        |x1  x1^2+y1^2  1|
         |x2^2+y2^2  y2  1|        |x2  x2^2+y2^2  1|
         |x3^2+y3^2  y3  1|        |x3  x3^2+y3^2  1|
     h = ------------------,   k = ------------------
             |x1  y1  1|               |x1  y1  1|
           2*|x2  y2  1|             2*|x2  y2  1|
             |x3  y3  1|               |x3  y3  1|

Example: Suppose a circle passes through the points (4,1), (-3,7), and 
(5,-2). Then we know that:

     (h-4)^2 + (k-1)^2 = r^2
     (h+3)^2 + (k-7)^2 = r^2
     (h-5)^2 + (k+2)^2 = r^2

Subtracting the first from the other two, you get:

     (h+3)^2 - (h-4)^2 + (k-7)^2 - (k-1)^2 = 0
     (h-5)^2 - (h-4)^2 + (k+2)^2 - (k-1)^2 = 0

     h^2+6*h+9 - h^2+8*h-16 + k^2-14*k+49 - k^2+2*k-1 = 0
     h^2-10*h+25 - h^2+8*h-16 + k^2+4*k+4 - k^2+2*k-1 = 0

     14*h - 12*k + 41 = 0
     -2*h + 6*k + 12 = 0

     10*h + 65 = 0
     30*k + 125 = 0

     h = -13/2
     k = -25/6

Then

     r = sqrt[(4+13/2)^2 + (1+25/6)^2]
       = sqrt[4930]/6

Thus the equation of the circle is:

     (x+13/2)^2 + (y+25/6)^2 = 4930/36

- Doctor Rob, The Math Forum
  http://mathforum.org/dr.math/

Références

De trouver le Centre d'un Cercle Donné Trois Points, Consulté le 2014-04-01, <http://mathforum.org/library/drmath/view/55239.html>

OriginalL'auteur DevNull

1

Vous disposez de trois équations pour déterminer les trois inconnues xM, yM et R,
```
(xA-xM)^2+(yA-yM^2) = R^2
```
etc. En soustrayant l'Une équation du B et C les équations donne
```
2*(xB-xA)*xM+2*(yB-yA)*yM = xB^2-xA^2+yB^2-yA^2
2*(xC-xA)*xM+2*(yC-yA)*yM = xC^2-xA^2+yC^2-yA^2
```
Par la résolution de ce 2x2 système linéaire, obtenir le centre du cercle, de l'insertion dans l'un de l'équation d'origine donne le rayon.

OriginalL'auteur LutzL
1

Il est peu connu résultat donnant l'équation implicite d'un cercle passant par 3 points:
```
|Z   X   Y   1|
|Za  Xa  Ya  1|
|Zb  Xb  Yb  1| = 0
|Zc  Xc  Yc  1|
```
où nous l'avons défini Z:= X^2 + Y^2 par souci de concision.

Le calcul du 3x3 mineurs, nous développons dans:
```
M00 Z + M10 X + M20 Y + M30 = 0
```
et, après la normalisation, nous avons l'habitude equation du second degré:
```
X^2 + Y^2 + 2U X + 2V Y + W = 0
```
Cela peut être réécrit comme suit:
```
(X - U)^2 + (Y - V)^2 = U^2 + V^2 - W
```
créant immédiatement le centre (U, V) = (-M10/2.M00, -M20/2.M00) et le rayon R^2 = U^2 + V^2 - M30/M00.

OriginalL'auteur Yves Daoust

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