Comment calculer le centre d'une ellipse de deux points et de rayon tailles

Tout en travaillant sur SVG mise en œuvre pour Internet Explorer fondés sur sa propre VML format je suis venu pour un problème de traduction d'une SVG d'arc elliptique à une VML arc elliptique.

Dans VML un arc est donnée par: deux angles de deux points de l'ellipse et de la longueur des rayons,
En SVG un arc est donnée par: deux paires de coordonnées de deux points sur l'ellipse et de tailles de l'ellipse boîte de frontière

Donc, la question est: Comment exprimer les angles de deux points sur l'ellipse de deux paires de leurs coordonnées.
Intermédiaire en question pourrait être: Comment trouver le centre d'une ellipse par les coordonnées d'une paire de points sur la courbe.

mise à Jour: nous allons avoir une condition préalable à dire qu'une ellipse est normalement placé (ses rayons sont parallèles au système de coordonnées linéaires de l'axe), donc pas de rotation est appliquée.

mise à Jour: Cette question n'est pas liée à svg:élément ellipse, plutôt "un" arc elliptique de commande en svg:élément du chemin (SVG Chemins: L'arc elliptique de la courbe de commandes)

InformationsquelleAutor Sergey Ilinsky | 2008-10-13
  1. 24

    Donc la solution est ici:

    La paramétrées formule d'une ellipse:

    x = x0 + a * cos(t) 
y = y0 + b * sin(t)

    Mettons connu coordonnées de deux points:

    x1 = x0 + a * cos(t1) 
x2 = x0 + a * cos(t2) 
y1 = y0 + b * sin(t1) 
y2 = y0 + b * sin(t2)

    Maintenant, nous avons un système d'équations avec 4 variables: le centre de l'ellipse (x0/y0) et deux angles t1, t2

    Nous allons soustraire équations afin de se débarrasser des coordonnées du centre:

    x1 - x2 = a * (cos(t1) - cos(t2)) 
y1 - y2 = b * (sin(t1) - sin(t2))

    Cela peut être réécrite (avec produit-somme des identités formules) que:

    (x1 - x2) /(2 * a) = sin((t1 + t2) /2) * sin((t1 - t2) /2) 
(y2 - y1) /(2 * b) = cos((t1 + t2) /2) * sin((t1 - t2) /2)

    Nous allons remplacer certains des équations:

    r1: (x1 - x2) /(2 * a) 
r2: (y2 - y1) /(2 * b) 
a1: (t1 + t2) /2 
a2: (t1 - t2) /2

    Alors nous obtenons les équations simples du système:

    r1 = sin(a1) * sin(a2) 
r2 = cos(a1) * sin(a2)

    Divisant première équation par seconde produit:

    a1 = arctan(r1/r2)

    L'ajout de ce résultat à la première équation donne:

    a2 = arcsin(r2 /cos(arctan(r1/r2)))

    Ou, simple (à l'aide de compositions de trigonométriques et trigonométriques inverses des fonctions):

    a2 = arcsin(r2 /(1 /sqrt(1 + (r1/r2)^2)))

    ou encore plus simple:

    a2 = arcsin(sqrt(r1^2 + r2^2))

    Maintenant la période initiale de quatre-système d'équations peut être résolu facilement et sous tous les angles ainsi que eclipse les coordonnées du centre peut être trouvé.

    • Pour être explicite: t1 = a1+a2, t2 = a1-a2, x0 = x1 - uncos(t1), y0 = y1 - bsin(t1)
    • Pourriez-vous s'il vous plaît poster un exemple de conversion d'un SVG arc à une VML arc? par exemple, "A80 80 0 1 0 200 200" produit de l'une des aiguilles d'une montre grand arc de cercle d'un rayon de 80 à 200,200. Comment cela pourrait-il répliqué en VML? Merci!
    • Aussi, est-y0 = y1 - b*sin(t1) corriger, ou devrait-il être sin(t2)?
    • Attention à la dernière étape, la prise de r2 à l'intérieur de la sqrt se débarrasse de son signe, donne de mauvais résultats pour certains cas!
    InformationsquelleAutor Sergey Ilinsky
  2. 5

    La courbe elliptique arc lien que vous avez posté comprend un lien vers arc elliptique notes de mise en œuvre.

    Là, vous trouverez les équations pour la conversion de point de terminaison pour le centre de paramétrage.

    Voici mon code JavaScript de la mise en œuvre de ces équations, prises de une démonstration interactive de l'arc elliptique chemins, à l'aide de Sylvester.js pour effectuer la matrice et vecteur de calculs.

    //Calculate the centre of the ellipse
//Based on http://www.w3.org/TR/SVG/implnote.html#ArcConversionEndpointToCenter
var x1 = 150;  //Starting x-point of the arc
var y1 = 150;  //Starting y-point of the arc
var x2 = 400;  //End x-point of the arc
var y2 = 300;  //End y-point of the arc
var fA = 1;    //Large arc flag
var fS = 1;    //Sweep flag
var rx = 100;  //Horizontal radius of ellipse
var ry =  50;  //Vertical radius of ellipse
var phi = 0;   //Angle between co-ord system and ellipse x-axes
var Cx, Cy;
//Step 1: Compute (x1′, y1′)
var M = $M([
[ Math.cos(phi), Math.sin(phi)],
[-Math.sin(phi), Math.cos(phi)]
]);
var V = $V( [ (x1-x2)/2, (y1-y2)/2 ] );
var P = M.multiply(V);
var x1p = P.e(1);  //x1 prime
var y1p = P.e(2);  //y1 prime
//Ensure radii are large enough
//Based on http://www.w3.org/TR/SVG/implnote.html#ArcOutOfRangeParameters
//Step (a): Ensure radii are non-zero
//Step (b): Ensure radii are positive
rx = Math.abs(rx);
ry = Math.abs(ry);
//Step (c): Ensure radii are large enough
var lambda = ( (x1p * x1p) / (rx * rx) ) + ( (y1p * y1p) / (ry * ry) );
if(lambda > 1)
{
rx = Math.sqrt(lambda) * rx;
ry = Math.sqrt(lambda) * ry;
}
//Step 2: Compute (cx′, cy′)
var sign = (fA == fS)? -1 : 1;
//Bit of a hack, as presumably rounding errors were making his negative inside the square root!
if((( (rx*rx*ry*ry) - (rx*rx*y1p*y1p) - (ry*ry*x1p*x1p) ) / ( (rx*rx*y1p*y1p) + (ry*ry*x1p*x1p) )) < 1e-7)
var co = 0;
else
var co = sign * Math.sqrt( ( (rx*rx*ry*ry) - (rx*rx*y1p*y1p) - (ry*ry*x1p*x1p) ) / ( (rx*rx*y1p*y1p) + (ry*ry*x1p*x1p) ) );
var V = $V( [rx*y1p/ry, -ry*x1p/rx] );
var Cp = V.multiply(co);
//Step 3: Compute (cx, cy) from (cx′, cy′)
var M = $M([
[ Math.cos(phi), -Math.sin(phi)],
[ Math.sin(phi),  Math.cos(phi)]
]);
var V = $V( [ (x1+x2)/2, (y1+y2)/2 ] );
var C = M.multiply(Cp).add(V);
Cx = C.e(1);
Cy = C.e(2);
    InformationsquelleAutor Rikki
  3. 1

    Une ellipse ne peut pas être définie par deux points. Même un cercle (un spécial tubé ellipse) est défini par trois points.

    Même avec trois points, vous auriez infini ellipses passant par ces trois points (pensez: rotation).

    Notez qu'une boîte englobante suggère un centre de l'ellipse, et plus probablement suppose que ses axes majeurs et mineurs sont parallèles à l'axe x et y (ou y,x) axes.

    • En effet, j'ai oublié d'ajouter une note de sur que. Allons faire maintenant.
    InformationsquelleAutor tzot
  4. 1

    L'intermédiaire question est assez facile... vous n'avez pas. - Vous le centre d'une ellipse à partir de la boîte englobante (à savoir, le centre de la boîte est le centre de l'ellipse, aussi longtemps que l'ellipse est centrée dans la boîte).

    Pour votre première question, je regarderais la forme polaire de l'ellipse d'équation, qui est disponible sur Wikipédia. Vous devrez travailler sur l'excentricité de l'ellipse ainsi.

    Ou vous pourriez brute force les valeurs de la boîte englobante... pour savoir si un point est sur l'ellipse et correspond à l'angle, et de parcourir chaque point dans la boîte englobante.

    • Je suis en train de parler elliptique arcs en svg:chemin, pas une ellipse. Comme pour les maths, j'ai fait quelques trois articles de la résolution d'équations à la fois en polaire et linéaire systèmes de coordonnées, toujours pas de chance.
    • Il doit toujours être le même processus. Un arc elliptique est juste une partie d'une ellipse avec 2 'de délimitation des points de l'ellipse. Le rectangle de délimitation devrait être suffisant pour vous donner toutes les informations pour construire une ellipse complète. Il suffit ensuite de nourrir les angles dans l'équation.
    • Encore une fois, je n'ai pas formuler la question correctement. Il n'est pas rectangle de délimitation de ce qui est donné, mais les tailles de rayon.
    • ainsi, les rayons de données vous permettent de formuler un rectangle de délimitation. À savoir les rayons x vous permettra de gagner de l' +x et -x valeurs, et de même pour l'axe. Les combinaisons de ces va vous donner tous les points du rectangle de délimitation. Si un centre n'est pas donné, alors la seule conclusion est que c'est 0,0
    • C'est le problème, le centre n'est pas dans 0,0 (il peut en effet être trouvée n'importe où) et d'une étape intermédiaire pourrait être de trouver les coordonnées du centre, plus tard, il serait plus facile de calcaulate les angles (donnée des coordonnées des points et les tailles de rectangle)
    InformationsquelleAutor workmad3