Comment créer un cercle avec des courbes de Bézier?

Nous avons un point de départ (x, y) et un rayon du cercle. Il existe aussi un moteur qui peut créer un tracé de courbe de Bézier de points.

Comment puis-je créer un cercle à l'aide de courbes de Bézier?

InformationsquelleAutor Rella | 2009-11-14
  1. 114

    Comme déjà dit: il n'y a pas de représentation exacte du cercle à l'aide de courbes de Bézier.

    De terminer les autres réponses : pour la courbe de Bézier avec n segments de la optimale distance aux points de contrôle, dans le sens que le milieu de la courbe se trouve sur le cercle lui-même, est (4/3)*tan(pi/(2n)).

    Comment créer un cercle avec des courbes de Bézier?

    Donc pour 4 points, il est (4/3)*tan(pi/8) = 4*(sqrt(2)-1)/3 = 0.552284749831.

    Comment créer un cercle avec des courbes de Bézier?

    • Bon et utile de la solution, merci.
    • Par distance optimale, ce genre de mesures sont vous optimiser? Comme indiqué dans le Approximative d'un cercle avec des courbes de Bézier cubique, le plus bas possible au maximum la dérive est réalisé par une valeur différente. Pouvez-vous donner un lien de la définition de ce que "optimale" signifie dans votre cas, ou comment la formule de la dérivée?
    • ce n'est pas optimal pour une certaine distance. C'est optimal pour que le milieu de la courbe sur le cercle. Et peut certainement être mieux si vous mettez un autre critères.
    • OK. Je vais essayer de reformuler: "la distance aux points de contrôle, tels que le milieu de la courbe se trouve sur le cercle lui-même". Je vois cela comme une décision valide (assez bon et facile à calculer), mais je ne dirais pas que c'optimale (au moins pas sans écrire dans ce sens, il est optimal).
    • fait 😉 Merci.
    • Cela m'a aidé à calculer mes points de contrôle d'une courbe de bézier à l'approximation d'un huitième de cercle.
    • Oui, puisque celui-ci a une déviation max. de +0.027% et un min de la déviation de -0 vs le vrai cercle. C'est seulement de plus en plus grand que le cercle de la meilleure amélioration de rapprochement est fait par le déplacement de C par la moitié de 0,027%. Si vous voulez les milieux sur le cercle si, c'est certainement la façon de le faire.
    • Les personnages sont bien fait et de la porte de ce qui semble être des graphiques vectoriels. Pouvez-vous s'il vous plaît dites-nous comment vous les avez créées?
    • J'utilise LaTeX avec TikZ pour générer un fichier PDF que je le convertir en PNG, puis.
    • Ouais, mais si tu voulais le faire avec 1 point de contrôle au lieu de deux, quelle est votre valeur C et le taux d'erreur?
    • Si vous voulez approximative du cercle avec quadratique en place de courbe de bézier cubique tangent à n points, vous n'avez pas beaucoup de choix pour les points de contrôle : les n points de contrôle doivent être "au milieu" à distance à partir du centre 1/cos(pi/n).
    • Peut-être utile à quelqu'un, j'ai scripté création SVG comme chemin de commandes pour dessiner le cercle avec les courbes de bézier: codereview.stackexchange.com/questions/141491/... je me suis basé sur cette réponse.
    • Cela devrait être la réponse. Merci beaucoup pour l'explication!

    InformationsquelleAutor Kpym
  2. 30

    Couverts dans le comp.les graphiques.faq

    Extrait:

    Sujet 4.04: Comment puis-je insérer une courbe de Bézier à un cercle?

    Assez intéressant, courbes de Bézier, peut se rapprocher d'un cercle, mais
    ne pas s'adapter parfaitement à un cercle.
    Une commune de rapprochement est l'utilisation de quatre beziers pour modèle un cercle, chaque
    avec des points de contrôle d'une distance d=r*4*(sqrt(2)-1)/3 à partir de la fin des points
    (où r est le rayon du cercle), et dans une direction tangente à la
    cercle à la fin des points. Cela permettra d'assurer que le milieu de la
    Béziers sont sur le cercle, et que la première dérivée est continue.

    La radiale de l'erreur de cette approximation sera d'environ 0.0273% de la
    cercle du rayon.

    Michael Goldapp, "Rapprochement des arcs de cercle en cubes
    les polynômes de" Computer Aided Design Géométrique (#8 de 1991, pp. 227-238)

    Tor Dokken et Morten Daehlen, "Bonnes Approximations des cercles
    la courbure continue des courbes de Bézier" Géométrique Assistée par Ordinateur
    Conception (#7 de 1990, pp. 33-41). http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/016783969090019N (non libre de l'article)

    Voir aussi la non-paywalled article à http://spencermortensen.com/articles/bezier-circle/

    Navigateurs et de l'Élément Canvas.

    Noter que certains navigateurs utilisent des courbes de Bézier pour leur toile dessine un arc de cercle, Chrome utilise (pour le moment) 4 approche sectorielle et Safari utilise un 8 secteur de l'approche, la différence est notable qu'à haute résolution, à cause de cela 0.0273%, et également la seule véritablement visible lorsque les arcs sont dessinés en parallèle et de phase, vous remarquerez que les arcs oscillent entre un vrai cercle. L'effet est également de plus en plus perceptibles lorsque la courbe est l'animation autour d'elle radial du centre, 600px rayon est généralement de la taille où il fera une différence.

    Certaines API de dessin qui n'est pas vrai arc de rendu, de sorte qu'ils utilisent également des courbes de Bézier, par exemple la plate-forme Flash n'a pas d'arc de l'api de dessin, de sorte que toute les cadres qui offrent des arcs sont généralement en utilisant la même courbe de Bézier approche.

    Noter que SVG moteurs dans les navigateurs peuvent utiliser une autre méthode de dessin.

    D'autres plates-formes

    Quelle que soit la plateforme que vous essayez d'utiliser, il vaut la peine de vérifier pour voir comment arc dessin est fait, de sorte que vous pouvez prédire visual erreurs de ce type, et de s'adapter.

    • Le lien est rompu.
    • Merci, je vais le remplacer.
    InformationsquelleAutor ocodo
  3. 22

    Les réponses à cette question sont très bons, donc il y a peu à ajouter. Inspiré par cela, j'ai commencé à faire une expérience de visuellement confirmer la solution, en commençant par les quatre courbes de Bézier, réduisant le nombre de courbes à un. Étonnamment, j'ai trouvé que, avec trois courbes de Bézier le cercle regardé assez bon pour moi, mais la construction est un peu délicat. En fait j'ai utilisé Inkscape de lieu noir de 1 pixel à l'échelle de Bézier rapprochement sur une red de 3 pixels de large cercle (comme produite par Inkscape). Pour les précisions, j'ai ajouté les lignes bleues et les surfaces montrant les boîtes englobantes des courbes de Bézier.

    De vous voir, je vais présenter mes résultats:

    L'1-graphe de la courbe (qui ressemble à une baisse coincée dans un coin, juste pour être complet) :Comment créer un cercle avec des courbes de Bézier?

    Le 2-graphe de la courbe:Comment créer un cercle avec des courbes de Bézier?

    Le 3-graphe de la courbe:Comment créer un cercle avec des courbes de Bézier?

    Le 4-graphe de la courbe: Comment créer un cercle avec des courbes de Bézier?

    (Je voulais mettre le SVG ou PDF ici, mais qui n'est pas pris en charge)

    InformationsquelleAutor U. Windl
  4. 8

    Il n'est pas possible. Une courbe de Bézier est un cube (au moins... le plus couramment utilisé est). Un cercle ne peut pas être exprimé exactement avec un cube, parce que un cercle contient une racine carrée dans son équation. En conséquence, vous devez approximative.

    Pour ce faire, vous devez diviser votre cercle en n-habitants (e.g.les quadrants, octants). Pour chaque n-tant, vous utilisez le premier et le dernier point que la première et la dernière de la courbe de Bézier. La courbe de Bézier polygone nécessite deux points supplémentaires. Pour être rapide, je prendrais les tangentes au cercle pour chaque point extrême de la n-tant et choisir les deux points de l'intersection des deux tangentes (de sorte que, fondamentalement, votre courbe de Bézier polygone est un triangle). Augmenter le nombre de n habitants pour s'adapter à votre précision.

    • Il est possible, tant que vous utilisez un nombre infini de courbes de bézier, de longueur zéro. Qui est en fait un nombre infini de points, ou plutôt juste un arc de courbe.
    InformationsquelleAutor Stefano Borini
  5. 7

    Les autres réponses ont couvert le fait qu'un véritable cercle n'est pas possible. Ce fichier SVG est une approximation en utilisant les courbes de Bézier Quadratiques, et c'est la chose la plus proche que vous pouvez obtenir: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Circle_and_quadratic_bezier.svg

    Voici un avec les courbes de Bézier Cubiques: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Circle_and_cubic_bezier.svg

    InformationsquelleAutor Jaffer
  6. 7

    Beaucoup de réponses déjà, mais j'ai trouvé un petit article en ligne, avec une très bonne courbe de bézier approximation d'un cercle. En termes de cercle unité c = 0.55191502449 où c est la distance de l'axe d'intercepter les points sur les tangentes aux points de contrôle.

    Comme un seul quadrant du cercle unité avec les deux du milieu coordonnées étant les points de contrôle. (0,1),(c,1),(1,c),(1,0)

    De la radiale erreur est juste 0.019608% donc j'ai juste eu à ajouter à cette liste de réponses.

    L'article peut être trouvé ici Se rapprocher d'un cercle avec des courbes de Bézier cubiques

    • Avez-vous de lire ce excellent traité sur les Courbes de Bézier par Stackoverflow est Mike "Pomax' Kamermans. Il vaut la peine de le lire! 🙂
    • Merci beaucoup pour ce lien, qui est l'un des "plus excellent" traité que j'ai vu sur le sujet jamais. Ne peut pas attendre pour avoir une chance d'aller plus dans le détail.. 😀 merci...
    • Donc, avec 0.019608% d'erreur, les graphismes aurez 4 pixels dans l'erreur quand le rayon va au-delà de 2551 pixels dans un cercle plutôt que l'horrible 0.027253% où nous sommes une solide demi-pixel de l'erreur (où le moteur graphique va modifier le nombre de pixels) à 1835 px causer de 2 pixels pour être dans l'erreur!
    • L'article ne précise pas comment l'erreur a été mesurée, il est dit radiale maximale de la dérive ? Je suppose que l'erreur est minimisée le long de la courbe 0<= t <= 1 pour correspondre à la quadrant 0 <= pheta <= Pi/2 à t = 0 = 1/2 = 1 est égale à pheta = 0 = Pi/4 = Pi/4 l'erreur est 0.019608% et le max d'erreur à t = ~0.1822 & t = ~ 0.8177 de 0.019608% (signes?) mais, à ces points de t n'est pas égale à pheta le message d'erreur comprennent l'angle de dérive? . 4pixels peut ou peut ne pas être correcte. L'erreur peut être de la variance, donc erreur < 2pix pour r = 2551. Beaucoup de questions qui auront besoin d'enquête
    • Je suis presque sûr d'avoir regardé la courbe d'erreur que la donnée de réglage se déplace simplement le moment, assez pour causer un max d'erreur ci-dessus de l'arc-ligne à l'égalité des le max d'erreur ci-dessous l'arc-ligne. Qui est-à-dire nous changer de la courbe un peu vers le bas de sorte que tous l'erreur n'est pas positif. Ce réglage signifie que nous sommes de passage de la ligne d'arc 4 fois, avec 4 points de l'erreur maximale. Lorsque l'original spec ed ligne a 2 points, à savoir à t=.25 et t=.75. Avec les ajustements qu'elle devrait être à t=.125, t=.375 t=.625 t=.875. Cela suppose que nous utilisons des pixels et pas d'anti-aliasing qui allait changer à 14px.
    InformationsquelleAutor Blindman67
  7. 1

    Je ne suis pas sûr si je devrais ouvrir une nouvelle question puisqu'il s'agit de aproximation mais je suis intéressé par la formule générale pour obtenir des points de contrôle de Bézier de degré et je crois qu'il s'adapte à l'intérieur de cette question.
    Toutes les solutions que j'ai trouvé sur le web ne sont que pour les courbes cubiques ou qui sont payés ou je ne comprends même pas (je ne suis pas très bon en maths).
    J'ai donc décidé d'essayer de résoudre cela sur mon propre. J'ai été l'étude de la distance du point de contrôle à partir du centre d'un cercle dépend angle donné et jusqu'à présent, j'ai constaté que:

    Comment créer un cercle avec des courbes de Bézier?

    Où N est le nombre de points de contrôle pour une seule courbe et α est un arc de cercle d'angle.

    Pour la courbe quadratique, il peut être simplifié à l ≈ r + r * PI*0.1 * pow(α/90, 2)
    Le PI*0.1 est plutôt une supposition, je ne l'ai pas calculer la valeur parfaite, mais il est assez proche.
    Cela fonctionne raisonnablement bien pour courbe avec 1-2 points de contrôle donnant rayon d'erreur d'environ 0,2% pour les cubes de la courbe. Pour le degré supérieur des courbes de perte de précision est perceptible. Avec 3 points de contrôle de la courbe de ressembler à quadratiques alors, évidemment, je suis de rater quelque chose mais je ne peux pas la comprendre et de cette méthode correspond à mes besoins pour le moment.
    Voici démo.

    • Quel logiciel utilisez-vous pour créer cette image？
    • Capture d'écran de mon démo + Mathématiques panneau d'écriture(ou cependant le nom est traduit) à partir de win 7 + MS Paint
    InformationsquelleAutor Paweł Audionysos
  8. 0

    Désolé pour apporter ce un retour d'entre les morts, mais j'ai trouvé ce post très utile, le long de avec cette page à venir avec une extensible formule.

    Fondamentalement, vous pouvez créer un près de cercle à l'aide d'une incroyable formule simple qui vous permet d'utiliser n'importe quel nombre de courbes de Bézier sur 4: Distance = radius * stepAngle /3

    Où Distance est la distance entre un point de contrôle de Bézier et le plus proche de la fin de l'arc, le rayon est la radius du cercle, et stepAngle est l'angle entre les 2 extrémités de l'arc représenté par 2π /(le nombre de courbes).

    Afin de le frapper d'un seul coup: Distance = radius * 2π /(the number of curves) /3

    • Ce n'est pas la meilleure approximation d'un cercle. Le meilleur est Distance = (4/3)*tan(pi/2n). Pour un grand nombre d'arcs qu'il est presque le même, parce que tan(pi/2)~pi/2n, mais par exemple pour n=4 (ce qui est le plus utilisé des cas) votre formule donne Distance=0.5235... mais le choix optimal est Distance=0.5522... (si vous avez ~5% d'erreur).
    InformationsquelleAutor bubbinator
  9. -2

    C'est une lourde rapprochement qui sera raisonnable ou terrible en fonction de la résolution et de la précision, mais j'utilise sqrt(2)/2 x rayon que mes points de contrôle. J'ai lu un assez long texte comment ce nombre est tiré et il est intéressant de lire mais la formule ci-dessus est le rapide et sale.

    InformationsquelleAutor Richard Nunes