Dessiner une courbe de Bézier par trois points donnés

J'ai trois points en 2D et je veux dessiner une courbe de Bézier en passant par eux. Comment dois-je calculer le point de contrôle central (x1 et y1 comme dans quadTo)? Je sais que l'algèbre linéaire à partir de la fac, mais besoin de quelques simple de l'aide sur ce.

Comment puis-je calculer le point de contrôle central, de sorte que la courbe passe par elle ainsi?

InformationsquelleAutor Alex | 2011-07-15

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Laisser P0, P1, P2 être les points de contrôle, et le Pc sera votre point fixe vous voulez que la courbe de passer à travers.

Alors la courbe de Bézier définie par
```
P(t) = P0*t^2 + P1*2*t*(1-t) + P2*(1-t)^2
```
...où t va de zéro à 1.

Il y a un nombre infini de réponses à votre question, car il peut passer à travers votre point de pour toute valeur de t... Donc il suffit de choisir un, comme t=0,5, et de résoudre pour P1:
```
Pc = P0*.25 + P1*2*.25 + P2*.25

P1 = (Pc - P0*.25 - P2*.25)/.5

   = 2*Pc - P0/2 - P2/2
```
Il y a le "P" les valeurs sont (x,y) paires, alors il suffit d'appliquer l'équation, une fois pour x et pour y:
```
x1 = 2*xc - x0/2 - x2/2
y1 = 2*yc - y0/2 - y2/2
```
...où (xc,yc) est le point que vous souhaitez qu'il passe à travers, (x0,y0) est le point de départ, et (x2,y2) est le point de fin. Cela vous donnera une courbe de Bézier qui passe à travers (xc,yc) à t=0.5.
- Cela semble être la réponse parfaite avec la bonne quantité de mathématiques et de texte. À l'aide de 0,5 pour t fait sence et je reçois les maths maintenant. 0,5 pour t signifie que le point de contrôle central va être passé "à mi-chemin", à droite? C'est un idéal valeur pour moi. Merci, va accepter de répondre en temps, si cela résout mon problème. t = 0,5 a été ce qui manquait.
- Oui ça marche et c'est une solution très simple. t = 0,5 a été le qlue j'avais besoin. Merci.
- À l'aide de t=0,5 est en effet un bon choix. Il a la propriété que P1 est le point le plus éloigné de la ligne passant par P0 et P2 (respectivement que la tangente à la courbe passant par P1 est parallèle à la ligne de P0 P2)
- Je ne comprends pas comment cette formule, x1 = 2*xc - x0/2 - x2/2 y1 = 2*yc - y0/2 - y2/2 est un dérivé. J'ai posé cette question sur un autre thread, stackoverflow.com/questions/9710616/...
- Je voudrais également comme n'importe quel contexte d'information possible sur l'endroit où les équations sont venus. Merci!
- Je ne suis pas sûr de ce que vous demandez... La première équation est juste la définition d'une courbe de Bézier quadratique; et le reste, tous les suivre à partir de la première par l'algèbre. Demandez-vous comment Bézier a décidé que les équations à utiliser pour définir ses courbes?
- Désolé, tout cela a l'air très confus 4 heures. J'ai été brossage sur les vecteurs 'n des choses et l'article de wiki ici m'a vraiment aidé: en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve. Ce serait génial si vous pouviez inclure cette courbe quadratique gif dans la réponse. Je suis toujours étonné par les mathématiques qui le fait fonctionner, mais je suppose que c'est un tout autre problème.
- P0 et P2 sont inversés. Il n'est pas un problème, cela signifie simplement que P(0) est égal à P2, et pas à P0.
InformationsquelleAutor Nemo

J'ai utilisé Nemos réponse dans mon JavaFX apllication, mais mon but était de dessiner la courbe, de sorte que le visuel turning point de la courbe correspond toujours avec le choisi une fixe (CP).

CP = ControlPoint

SP = point de Départ

EP = Extrémité

BP(t) = variable Point sur BeziérCurve où t est compris entre 0 et 1

À réaliser ce que j'ai fait une variable t (fixe pas de 0,5). Si le Point choisi CP n'est plus dans le milieu entre le PS et PE, vous devez varier t vers le haut ou vers le bas un peu.
Comme une première étape que vous devez savoir si le CP est plus proche de SP ou EP:
Laissez distanceSP la distance entre le pc et le PS
et distanceEP la distance entre le CP et le PE
puis-je définir ratio:

ratio = (distanceSP - distanceEP) /(distanceSP + distanceEP);

Maintenant, nous allons l'utiliser pour varier t de haut en bas:

ratio = 0.5 - (1/3) * ratio;

remarque: C'est toujours une approximation et 1/3 est choisi par essai et d'erreur.

Voici mon Java-Fonction:
(Point2D est une classe de JavaFX)

private Point2D adjustControlPoint(Point2D start, Point2D end, Point2D visualControlPoint) {
    //CP = ControlPoint, SP = StartPoint, EP = EndPoint, BP(t) = variable Point on BeziérCurve where t is between 0 and 1
    //BP(t) = SP*t^2 + CP*2*t*(1-t) + EP*(1-t)^2
    //CP = (BP(t) - SP*t^2 - EP*(1-t)^2) /( 2*t*(1-t) )
    //but we are missing t the goal is to approximate t
    double distanceStart  = visualControlPoint.distance(start);
    double distanceEnd    = visualControlPoint.distance(end);
    double ratio          = (distanceStart - distanceEnd) /(distanceStart + distanceEnd);
    //now approximate ratio to be t
    ratio = 0.5 - (1.0 /3) * ratio;

    double ratioInv = 1 - ratio;
    Point2D term2 = start.multiply( ratio * ratio );
    Point2D term3 = end.multiply( ratioInv * ratioInv );
    double  term4 = 2 * ratio * ratioInv;

    return visualControlPoint.subtract(term2).subtract(term3).multiply( 1 /term4);
}

J'espère que cette aide.

InformationsquelleAutor Zerlono

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Si vous ne voulez pas l'exact point milieu, plutôt que vous voulez de toute valeur de t (0 à 1), l'équation est:
```
controlX = pointToPassThroughX/t - startX*t - endX*t;
controlY = pointToPassThroughY/t - startY*t - endY*t;
```
Bien sûr, cela fonctionnera aussi pour le point milieu, il suffit de t à 0.5. Simple! 🙂
- Je pense que cela devrait être controlX = pointToPassThroughX/(2*t*(1-t))-startX*t/(2*(1-t))-endX*(1-t)/(2*t).
InformationsquelleAutor Craigo

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