Le calcul de la traduction de la valeur et de l'angle de rotation d'une rotation de l'image 2D

C'est essentiellement une homographie de récupération problème. Ce que vous faites est donnée des coordonnées dans une image et les coordonnées dans l'autre image, que vous essayez de récupérer le combiné de la traduction et de la matrice de rotation qui a été utilisé pour emballer les points d'une image à l'autre.

Vous pouvez combiner la rotation et la translation dans une seule matrice par la multiplication de deux matrices ensemble. Multipliant est tout simplement la composition les deux opérations simultanément. Vous serait-il:

H = [cos(theta) -sin(theta)  tx]
    [sin(theta) cos(theta)   ty]
    [    0           0        1]

L'idée derrière cela est de trouver les paramètres en minimisant l'erreur par la méthode des moindres carrés entre chaque paire de points.

Fondamentalement, ce que vous voulez trouver est la relation suivante:

xi_after = H*xi_before

H est le combiné de rotation et de translation de la matrice nécessaire à la carte les coordonnées de la une image à l'autre. H est aussi une matrice 3 x 3, et sachant que la partie inférieure droite de l'entrée (ligne 3, colonne 3) est de 1, il rend les choses plus faciles. Aussi, en supposant que vos points sont augmentés système de coordonnées, nous avons essentiellement veux trouver cette relation pour chaque paire de coordonnées à partir de la première image (x_i, y_i) à l'autre (x_i', y_i'):

[p_i*x_i']   [h11 h12 h13]   [x_i]
[p_i*y_i'] = [h21 h22 h23] * [y_i]
[  p_i   ]   [h31 h32  1 ]   [ 1 ]

L'échelle de p_i est de rendre compte de l'homographie de mise à l'échelle et de point de fuite. Nous allons effectuer une matrice-vecteur de multiplication de cette équation. Nous ne pouvons ignorer le 3ème élément, tel qu'il n'est pas utile pour nous (pour l'instant):

p_i*x_i' = h11*x_i + h12*y_i + h13
p_i*y_i' = h21*x_i + h22*y_i + h23

Maintenant, nous allons jeter un oeil à la 3ème élément. Nous savons que p_i = h31*x_i + h32*y_i + 1. En tant que tel, en remplaçant p_i dans chacune des équations, et en réarrangeant à résoudre pour x_i' et y_i', on obtient ainsi:

x_i' = h11*x_i + h12*y_i + h13 - h31*x_i*x_i' - h32*y_i*x_i'
y_i' = h21*x_i + h22*y_i + h23 - h31*x_i*y_i' - h32*y_i*y_i'

Ce que vous avez ici maintenant sont deux équations pour chaque paire de points. Ce que nous pouvons faire maintenant est de construire un système déterminé d'équations. Prendre chaque paire et la construction de deux équations. Vous aurez ensuite le mettre en forme de matrice, c'est à dire:

Ah = b

A serait une matrice de coefficients qui ont été construits à partir de chaque ensemble d'équations à l'aide de coordonnées à partir de la première image, b serait chaque paire de points pour la deuxième image et h serait les paramètres que vous cherchez. En fin de compte, vous êtes enfin la résolution de ce système linéaire d'équations reformulé sous forme de matrice:

Vous permettrait de résoudre pour le vecteur h qui peut être réalisée par la méthode des moindres carrés. Dans MATLAB, vous pouvez le faire via:

h = A \ b;

Une note pour vous: Si le mouvement entre les images est vraiment juste une rotation et une translation, puis h31 et h32 seront tous deux à zéro après, nous avons à résoudre pour les paramètres. Cependant, j'aime toujours être approfondie et donc je vais résoudre pour h31 et h32 de toute façon.

NB: Cette méthode ne fonctionnera que si vous avez au moins 4 unique paires de points. Parce qu'il y a 8 paramètres à régler pour, et il y a 2 équations par point, A doit avoir au moins le rang de 8 pour que le système soit cohérent (si vous voulez jeter un peu d'algèbre linéaire de la terminologie utilisée dans la boucle). Vous ne serez pas en mesure de résoudre ce problème si vous avez moins de 4 points.

Si vous voulez un peu de code MATLAB, supposons que vos points sont stockés dans sourcePoints et targetPoints. sourcePoints sont à partir de la première image et targetPoints sont pour la deuxième image. De toute évidence, il devrait y avoir le même nombre de points entre les deux images. Il est supposé que les deux sourcePoints et targetPoints sont stockés en tant que M x 2 matrices. Les premières colonnes contiennent votre x coordonne tandis que la seconde colonnes contiennent votre y coordonnées.

numPoints = size(sourcePoints, 1);

%//Cast data to double to be sure
sourcePoints = double(sourcePoints);
targetPoints = double(targetPoints);

%//Extract relevant data
xSource = sourcePoints(:,1);
ySource = sourcePoints(:,2);
xTarget = targetPoints(:,1);
yTarget = targetPoints(:,2);

%//Create helper vectors
vec0 = zeros(numPoints, 1);
vec1 = ones(numPoints, 1);

xSourcexTarget = -xSource.*xTarget;
ySourcexTarget = -ySource.*xTarget;
xSourceyTarget = -xSource.*yTarget;
ySourceyTarget = -ySource.*yTarget;

%//Build matrix
A = [xSource ySource vec1 vec0 vec0 vec0 xSourcexTarget ySourcexTarget; ...
    vec0 vec0 vec0 xSource ySource vec1 xSourceyTarget ySourceyTarget];

%//Build RHS vector
b = [xTarget; yTarget];

%//Solve homography by least squares
h = A \ b;

%//Reshape to a 3 x 3 matrix (optional)
%//Must transpose as reshape is performed
%//in column major format
h(9) = 1; %//Add in that h33 is 1 before we reshape
hmatrix = reshape(h, 3, 3)';

Une fois que vous avez terminé, vous avez un combiné de rotation et de translation de la matrice. Si vous voulez le x et y traductions, il suffit de ramasser la colonne 3, lignes 1 et 2 en hmatrix. Cependant, nous pouvons aussi travailler avec le vecteur de h lui-même, et donc h13 serait l'élément 3, et h23 serait l'élément le numéro 6. Si vous voulez l'angle de rotation, il suffit de prendre les mesures trigonométriques inverses en fonction des lignes 1, 2 et colonnes 1, 2. Pour le h vecteur, ce serait éléments 1, 2, 4 et 5. Il y aura un peu d'incohérence en fonction des éléments que vous choisissez comme cela a été résolu par la méthode des moindres carrés. Une manière d'obtenir un bon angle global serait peut-être de trouver les angles de tous les 4 éléments, puis faire une sorte de moyenne. De toute façon, c'est un bon point de départ.

Références

J'ai appris à propos de l'homographie il y a un moment par Leow Wee Kheng du cours de Vision par Ordinateur. Ce que je vous dis est basé sur ses diapositives: http://www.comp.nus.edu.sg/~cs4243/de cours/de la caméra.pdf. Jetez un oeil à des diapositives 30-32 si vous voulez savoir d'où j'ai tiré ce matériau de. Toutefois, le code MATLAB j'ai écrit moi-même 🙂

OriginalL'auteur rayryeng