Nginx avec php dans un sous-répertoire

J'ai un site en HTML pur. Maintenant, je dois ajouter un sous-répertoire (demo) contenant les fichiers PHP. J'ai mis en place deux endroits dans mon nginx.fichier conf:

server {
    listen          80;
    server_name     mydomain.com;

    access_log      /mydomain.com/access.log;

    location / {
        root        /www;
        index       index.html index.htm;
    }

    location /demo {
        root        /www/demo;
        index       /demo/index.php;
    }                                                                                                                                                                                                       

    location ~ /demo/.*\.php$ {
        root        /www/demo;
        fastcgi_pass   127.0.0.1:9000;
        fastcgi_index  index.php;                                                                                                                                                                                                          
        fastcgi_param  SCRIPT_FILENAME  /www/demo$fastcgi_script_name;
        include        fastcgi_params;
    }

    location ~ /\.ht {
        deny         all;
    }
}

Maintenant la mydomain.com fonctionne très bien, mais lorsque je tente d'accéder à mydomain.com/demo/, il continue à se plaindre

No input file specified.

Quel est le problème avec ce script? Je suppose que le chemin n'est pas correctement configurée comme fastcgi_index: faut-il /demo/index.php? J'ai essayé différentes combinaisons mais aucun ne fonctionne. Toute aide serait appréciée!