Pourquoi est-Mathématiques.pow(0, 0) === 1?

Nous savons tous que 0⁰ est indéterminée.

Mais, javascript dit que:

Math.pow(0, 0) === 1 //true

et C++ dit la même chose:

pow(0, 0) == 1 //true

POURQUOI?

Je sais que:

>Math.pow(0.001, 0.001)
0.9931160484209338

Mais pourquoi ne Math.pow(0, 0) jeter pas d'erreurs? Ou peut-être un NaN serait mieux que 1.

En vertu de la définition standard, "ab = exp(b ln(a))", c'est pas défini. En essayant de la définir comme "limitex>0 f(x)g(x)", où "f" et "g" les deux ont des limites de zéro donne une valeur indéterminée, car il dépend de votre choix de fonctions. (Mes excuses pour la déformation de la notation; je ne peux pas comprendre comment obtenir des exposants dans les commentaires).
oui, je suis consciente que 0⁰ (utiliser des caractères unicode) n'est pas défini compte tenu de cette définition, cependant, si vous lisez mon commentaire vous devriez noter que la citation des références au "monde des mathématiques" plutôt qu'une "définition standard". C'est cette différence que j'ai été à l'origine de renvoi, et la question a été mis à jour pour corriger cette nuance.
Euh...a^0 = 1 pour les non-zéro.
Il permet des fonctions qui dépendent des produits de probabilités de livrer des résultats sensées. C'est une mauvaise idée que les ordinateurs sont symboliques de mathématiques de processeurs. Le langage C a une mise en œuvre spécifique dans le monde réel, tandis que votre monde mathématique est peut-être trop idéal pour être inplemented dans le silicium.
Pour les mathématiques, la version de cette question — “pourquoi avons-nous souvent de définir 0^0 = 1?” — math.stackexchange a beaucoup de bonnes réponses: math.stackexchange.com/questions/11150/...
À mon humble avis, 0^0 doit être NaN, juste 0/0 est pour la virgule flottante, parce que la limite n'est pas définie de manière unique. En revanche, 1/0 EST bien défini comme l'Infini. Toute personne qui fait valoir que 0^0 devrait être de 1 car x^0=1 pour les non-zero x est seulement à la recherche à la moitié de celui - ci- ne pas oublier que 0^y=0 pour y>0. Je pense que la vraie réponse à cette question est "parce que CS majors ne sont plus les majors de mathématiques, comme ils étaient dans les années 1940."

InformationsquelleAutor Ionică Bizău | 2013-11-13

c++javascript language-agnostic pow

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En C++ ~~Le résultat de pow(0, 0)~~ le résultat est essentiellement définie par l'implémentation de comportement car mathématiquement, nous avons une situation contradictoire où N^0 doit toujours être 1 mais 0^N doit toujours être 0 pour N > 0, de sorte que vous devriez ne pas avoir d'attentes mathématiquement à la suite de ce soit. Cette Wolfram Alpha les messages du forum, va dans un peu plus de détails.

Bien qu'ayant pow(0,0) résultat dans 1 est utile pour de nombreuses applications comme la Justification de la Norme Internationale—Langages de Programmation—C états dans la section traitant IEC 60559 l'arithmétique à virgule flottante support:

Généralement, C99 évite NaN résultat où une valeur numérique est utile. [...] Les résultats de pow(∞,0) et pow(0,0) sont tous deux à 1, car il y a des applications qui peuvent exploiter cette définition. Par exemple, si x(p) et y(p) sont des fonctions analytiques qui deviennent de zéro à p = a, alors pow(x,y), qui est égal à exp(a*log(x)), les approches 1 que p s'approche d'un.

mise à Jour du C++

Comme leemes souligné à juste titre j'ai d'abord lié à la référence de la complexe version de pow tandis que le non complexes version prétend que c'est erreur de domaine la projet de norme C++ revient à la projet de norme C et les deux C99 et C11 dans la section 7.12.7.4 Le pow fonctions paragraphe 2 dit (accent mine):

[...]Une erreur de domaine peut se produire si x est égal à zéro et y est égal à zéro.[...]

qui, autant que je peux dire que signifie ce comportement est un comportement non spécifié enroulant un peu la section 7.12.1 Traitement de conditions d'erreur dit:

[...]une erreur de domaine se produit si un argument d'entrée est en dehors du domaine de plus de
dont la fonction mathématique est définie.[...] Sur un domaine d'erreur, la fonction renvoie une mise en valeur définie; si l'expression entière math_errhandling & MATH_ERRNO est différente de zéro, l'expression entière errno acquiert la valeur d'EDOM; [...]

Donc si il y avait un erreur de domaine alors ce serait de mise en œuvre de comportement défini mais dans les deux dernières versions de gcc et clang la valeur de errno est 0 il n'est donc pas erreur de domaine pour ces compilateurs.

mise à Jour de Javascript

Pour Javascript la ECMAScript® Spécification Du Langage dans la section 15.8 L'Objet Math sous 15.8.2.13 pow (x, y) dit entre autres conditions:

Si y est de +0, le résultat est 1, même si x est NaN.
- Je crois que la page est incorrecte, la norme ne dit pas que NaN doivent être retournés. La valeur de retour est mise en œuvre définies. cplusplus.com qui vous demande n'est pas une source fiable est en fait plus précis ici.
- Je suppose que vous voulez dire que l'supprimé réponse; j'ai seulement cité à propos de son inreliability, en espérant que cela pourrait expliquer le downvote (ce qui n'était pas par moi). Ainsi, les deux pages sont wikis, de sorte que leur fiabilité dépend de la fiabilité de leurs éditeurs qui sont humains et font des erreurs. 😉
- le C++ communauté, DONC a certainement une forte aversion pour cplusplus.com
- J'ai relié la même question (dans le supprimé réponse).
- Excellente réponse; pour le point (en citant la source faisant autorité), mais aussi instructif (en citant la justification).
- J'apprécie les commentaires, j'essaie d'écrire les réponses que j'aimerais lire d'autres. Je ne réussissent pas toujours, mais j'essaie. La rédaction des questions est encore plus difficile, je ne l'ai essayé qu'une fois et j'ai passé plus de temps sur elle, puis-je faire de mes réponses.
InformationsquelleAutor Shafik Yaghmour
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En JavaScript Math.pow est définie comme suit:
- Si y est NaN, le résultat est NaN.
- Si y est de +0, le résultat est 1, même si x est NaN.
- Si y est à 0, le résultat est 1, même si x est NaN.
- Si x est de NaN et de y est différent de zéro, le résultat est NaN.
- Si abs(x)>1 et y est +∞, le résultat est +∞.
- Si abs(x)>1 et y est −∞, le résultat est +0.
- Si abs(x)==1 et y est +∞, le résultat est NaN.
- Si abs(x)==1 et y est −∞, le résultat est NaN.
- Si abs(x)<1 et y est +∞, le résultat est +0.
- Si abs(x)<1 et y est −∞, le résultat est +∞.
- Si x est +∞ et y>0, le résultat est +∞.
- Si x est +∞ et y<0, le résultat est +0.
- Si x est −∞ et y>0 et y est un entier impair, le résultat est −∞.
- Si x est −∞ et y>0 et y n'est pas entier impair, le résultat est +∞.
- Si x est −∞ et y<0 et y est un entier impair, le résultat est de 0.
- Si x est −∞ et y<0 et y n'est pas entier impair, le résultat est +0.
- Si x est de +0 et y>0, le résultat est +0.
- Si x est de +0 et y<0, le résultat est +∞.
- Si x 0 et y>0 et y est un entier impair, le résultat est de 0.
- Si x 0 et y>0 et y n'est pas entier impair, le résultat est +0.
- Si x 0 et y<0 et y est un entier impair, le résultat est −∞.
- Si x 0 et y<0 et y n'est pas entier impair, le résultat est +∞.
- Si x<0 et x est fini et y est fini et y n'est pas un entier, le résultat est NaN.
_{l'accent mine}

en règle générale, les fonctions natives de n'importe quelle langue devrait fonctionner comme décrit dans la spécification du langage. Parfois, cela inclut explicitement "un comportement indéfini" où c'est à l'analyste de déterminer ce que le résultat doit être, mais ce n'est pas une affaire de comportement indéfini.
- Annexe F dans le C99 et C11 normes contient ce même cahier des charges. Une mise en œuvre est censé définir __STDC_IEC_559__ d'annoncer qu'il est conforme à cette spécification. Annexe F décrit IEC 60559 l'arithmétique à virgule flottante. Je crois que C spécification est admis partiellement conforme à l'Annexe F (par exemple, pow(0, 0) == 1) et de ne pas définir __STDC_IEC_559__.
- hmmm, il me semble que, dans le cas de gcc et clang ce morceau de l'information peut ne pas être totalement utile, c'est décourageant.
- Je ne sais pas que cette réponse aide. Bien sûr, la fonction doit s'exécuter comme il est défini dans les spécifications. Mais alors la question devient juste "Pourquoi était-il défini de cette façon dans la spec?"
- La bonne chose c'est (probablement) fait en hardware, sinon il serait nuke performance avec tous ces cas spéciaux 🙂
InformationsquelleAutor zzzzBov
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C'est juste de la convention pour la définir comme 1, 0, ou le laisser undefined. La définition est très répandue en raison de la définition suivante:

ECMA-Script de la documentation dit la chose suivante pow(x,y):
- Si y est de +0, le résultat est 1, même si x est NaN.
- Si y est à 0, le résultat est 1, même si x est NaN.
[ http://www.ecma-international.org/ecma-262/5.1/#sec-15.8.2.13 ]
- les mathématiques.stackexchange a beaucoup de bonnes discussions et les explications pour la définition de 0^0=1: math.stackexchange.com/questions/11150/...
InformationsquelleAutor schmijos
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Selon Wikipedia:

Dans la plupart des paramètres ne comportant pas de continuité de l'exposant, l'interprétation de 0⁰ 1 simplifie les formules et élimine le besoin pour des cas particuliers de théorèmes.

Il y a plusieurs façons possibles de traiter 0**0 avec les avantages et les inconvénients de chacun (voir Wikipédia pour une discussion prolongée).

La IEEE 754-2008 virgule flottante norme recommande trois fonctions différentes:
- pow traite 0**0 comme 1. C'est la plus ancienne version définis. Si la puissance est un entier, le résultat est le même que pour pown, sinon le résultat est que pour powr (sauf pour certains cas exceptionnels).
- pown traite 0**0 que de 1. La puissance doit être un entier. La valeur est définie pour les bases; par exemple, pown(−3,5) est −243.
- powr traite 0**0 comme valeur NaN (not-a-Number – non défini). La valeur est aussi NaN pour les cas comme powr(−3,2) où la base est inférieure à zéro. La valeur est définie par exp(puissance'×log(base)).
InformationsquelleAutor NPE
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Donald Knuth

sorte de réglé ce débat, en 1992, avec le texte suivant:

Et est allé encore plus dans les détails dans son livre Deux Remarques sur la Notation.

Fondamentalement, alors que nous n'avons pas 1 comme la limite de f(x)/g(x) pour tous les pas de toutes les fonctions f(x) et g(x), il rend encore combinatoire tellement plus simple de définir 0^0=1, et puis il suffit de faire des cas particuliers dans les quelques endroits où vous avez besoin à considérer que les fonctions telles que 0^x, qui sont bizarre de toute façon. Après tout x^0 revient beaucoup plus souvent.

Certains des meilleurs discussions je sais que ce sujet (autres que les Knuth papier) sont:
- Informations intéressantes!
- Si vous n'avez pas lu certains de lire les réponses dans Zéro à zéro de la puissance...?, qui est lié au large de la question que vous devriez certaines des réponses couvre également cette approche.
InformationsquelleAutor Thomas Ahle
5

Lorsque vous voulez savoir quelle est la valeur que vous devriez donner à f(a) quand f n'est pas directement calculable en a, vous calculez la limite de f quand x tend vers a.

En cas de x^y, d'habitude limites tendent vers 1 quand x et y ont tendance à 0, et surtout x^x tend vers 1 quand x tend à 0.

Voir http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10005.3-5.shtml

InformationsquelleAutor Denys Séguret
5

Le langage C définition dit (7.12.7.4/2):

Un domaine d'erreur peut se produire si x est égal à zéro et y est égal à zéro.

Il dit aussi (7.12.1/2):

Sur un domaine d'erreur, la fonction renvoie une mise en valeur définie; si l'expression entière math_errhandling & MATH_ERRNO est différente de zéro, l'expression entière errno acquiert la valeur d'EDOM; si l'expression entière math_errhandling & MATH_ERREXCEPT est différent de zéro, le ‘non valide’ floating point exception est levée.

Par défaut, la valeur de math_errhandling est MATH_ERRNO, afin de vérifier errno pour la valeur EDOM.
- Whoups! C'est vraiment intéressant! J'ai compilé mon fichier cpp à l'aide de g++ (Ubuntu/Linaro 4.8.1-10ubuntu8) 4.8.
InformationsquelleAutor Pete Becker
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Je tiens à être en désaccord avec certains de la réponse à la question précédente assertion que c'est une question de convention ou de commodité (couvrant certains cas particuliers, pour les divers théorèmes, etc) que 0^0 être définie comme 1 au lieu de 0.

Exponentiation ne fit que bien avec nos autres notations mathématiques, de sorte que la définition que nous avons tous à apprendre les feuilles de place pour la confusion. D'une manière légèrement différente de l'approche c'est-à-dire que a^b (ou exp(a, b), si vous le souhaitez) renvoie la valeur multiplicatively équivalent à la multiplication des quelque chose d'autre par, répété b fois.

Lorsque l'on multiplie 5 par 4, 2 fois, nous obtenons 80. Nous avons multiplié 5 par 16. Donc, 4^2 = 16.

Quand vous multipliez 14 par 0, 0 fois, nous nous retrouvons avec 14. Nous avons multiplié il 1. Par conséquent, 0^0 = 1.

Cette ligne de pensée pourrait également aider à clarifier négatif et exposant fractionnaire. 4^(-2) est un du 16e, parce que "négatif multiplication" est la division de nous diviser par quatre à deux reprises.

a^(1/2) est la racine(a), car en multipliant quelque chose par la racine de a est la moitié de la multiplicatif de travail comme le multipliant par lui-même - que vous auriez à le faire deux fois de multiplier par quelque chose 4 = 4^1 = (4^(1/2))^2

InformationsquelleAutor NiloCK
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Pour cela de comprendre vous avez besoin résoudre calcul:

Expansion x^x autour de zéro en utilisant les séries de Taylor, on obtient:

Afin de comprendre ce qui se passe à la limite quand x à zéro,
nous avons besoin de savoir ce qu'il se passe avec le deuxième terme x log(x), parce que d'autres conditions sont proportionnelles à x log(x) élevé à une certaine puissance.

Nous avons besoin d'utiliser la transformation:

Maintenant, après cette transformation, nous pouvons utiliser L'Hôpital de la règle, qui stipule que:

Afin de différencier cette transformation, nous obtenons:

Nous avons donc calculé que la durée log(x)*x approches 0 lorsque x tend vers 0.
Il est facile de voir que d'autres termes consécutifs également l'approche de zéro et même plus vite que le deuxième terme.

Donc à point x=0, la série devient 1 + 0 + 0 + 0 + ... et donc est égal à 1.
- Bien que cette réponse est impressionnant, il est intéressant de noter que, dans les mathématiques, la limite x->un de f(x) n'est pas nécessairement égal à f(a), sauf si la fonction est continue en x.
InformationsquelleAutor Agnius Vasiliauskas

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Donald Knuth