Quelle est la meilleure façon de calculer un nombre dérivé en MATLAB?

(Note: Ceci est destiné à être une communauté Wiki.)

Supposons que j'ai un ensemble de points xi = {x0,x1,x2,...xn} et la fonction correspondante des valeurs fi = f(xi) = {f0,f1,f2,...,fn}, où f(x) est, en général, une fonction inconnue. (Dans certains cas, nous pourrions savoir f(x) à l'avance, mais nous voulons le faire en général, depuis que nous avons souvent ne pas savoir f(x) à l'avance.) Ce qui est une bonne façon d'approximer la dérivée de f(x) à chaque point xi? C'est, comment puis-je estimer les valeurs de dfi == d/dx fi == df(xi)/dx à chacun des points xi?

Malheureusement, MATLAB n'ont pas une très bonne usage général, numérique de la différenciation de la routine. Partie de la raison pour cela est probablement parce que le choix d'une bonne routine peut être difficile!

Alors, quels types de méthodes sont là? Ce que les routines d'exister? Comment peut-on choisir une bonne routine pour un problème particulier?

Il y a plusieurs considérations lors du choix de la façon de différencier dans MATLAB:

  1. Ne vous ont une fonction symbolique ou d'un ensemble de points?
  2. Est votre grille de manière uniforme ou inégalement espacées?
  3. Votre domaine est périodique? Pouvez-vous supposer périodique des conditions limites?
  4. Quel niveau de précision que vous recherchez? Avez-vous besoin de calculer les dérivées à l'intérieur d'une tolérance?
  5. Est-il important pour vous que votre dérivés est évaluée sur les mêmes points que votre fonction est définie?
  6. Avez-vous besoin de calculer plusieurs commandes de produits dérivés?

Quelle est la meilleure façon de procéder?

  • Bon travail de mettre cela ensemble! Cependant, je soupçonne que ce sujet pourrait être trop large pour un Q&A, comme le meilleur moyen dépendra fortement de la situation.
InformationsquelleAutor jvriesem | 2015-04-06
  1. 19

    Ce sont juste quelques-quick-and-dirty suggestions. Espérons que quelqu'un va trouver utiles!

    1. Avez-vous une fonction symbolique ou d'un ensemble de points?

    • Si vous avez une fonction symbolique, vous peut être en mesure de calculer la dérivée d'un point de vue analytique. (Les Chances sont, vous l'aurait fait si c'était si facile, et vous ne seriez pas ici à la recherche d'alternatives.)
    • Si vous avez une fonction symbolique et ne peut pas calculer la dérivée d'un point de vue analytique, vous pouvez toujours évaluer la fonction sur un ensemble de points, et l'utilisation d'une autre méthode listées sur cette page pour évaluer la dérivée.
    • Dans la plupart des cas, vous avez un ensemble de points (xi,fi), et devez utiliser l'une des méthodes suivantes....

    2. Est votre grille de manière uniforme ou inégalement espacées?

    • Si votre grille est uniformément espacés, vous souhaiterez probablement utiliser un schéma aux différences finies (voir les articles de Wikipédia ici ou ici), sauf si vous utilisez périodique des conditions limites (voir ci-dessous). Ici s'agit d'une bonne introduction aux méthodes des différences finies dans le contexte de la résolution des équations différentielles ordinaires sur une grille (voir en particulier les diapositives 9-14). Ces méthodes sont généralement de calcul efficace, simple à mettre en œuvre, et de l'erreur de la méthode peut être simplement estimé que l'erreur de troncation de Taylor expansions utilisée pour le calculer.
    • Si votre grille est inégalement espacés, vous pouvez toujours utiliser un schéma aux différences finies, mais les expressions sont plus difficiles et la précision varie très fortement avec la façon dont l'uniforme de votre grille. Si votre grille est très non-uniforme, vous aurez probablement besoin d'utiliser de grands pochoir tailles (plus de voisins points) calculer la dérivée en un point donné. Souvent, les gens construire une interpolation polynomiale (souvent le Polynôme de Lagrange) et se différencient que polynomial pour calculer la dérivée. Voir, par exemple, cette StackExchange question. Il est souvent difficile d'estimer l'erreur à l'aide de ces méthodes (même si certains ont tenté de le faire: ici et ici). Fornberg de la méthode est souvent très utile dans ces cas....
    • Les soins doivent être prises dans les limites de votre domaine, car le pochoir comporte souvent des points qui sont à l'extérieur du domaine. Certaines personnes introduire des "points fantômes" ou de combiner des conditions aux limites de dérivés de différents ordres pour éliminer ces "points fantômes" et de simplifier le pochoir. Une autre approche est d'utiliser de droite ou de gauche face aux différences finies méthodes.
    • Voici un excellent "cheat sheet" de différence finie méthodes, y compris centré, droite et gauche face les régimes de faible commandes. Je garde une impression de ce près de mon poste de travail, parce que je trouve cela utile.

    3. Votre domaine est périodique? Pouvez-vous supposer périodique des conditions limites?

    • Si votre domaine est périodique, vous pouvez calculer les dérivés de très haute précision à l'aide de la transformée de Fourier méthodes spectrales. Cette technique sacrifices quelque peu les performances afin de gagner en précision. En fait, si vous êtes à l'aide de N points, votre estimation de la dérivée est d'environ N^ième ordre précis. Pour plus d'informations, voir (par exemple) ce WikiBook.
    • Les méthodes de Fourier souvent l'utilisation de la transformée de Fourier Rapide (FFT) algorithme pour atteindre environ O(N log(N)) de la performance, plutôt que de le O(N^2) algorithme qui une naïvement-mise en œuvre de Fourier discrète (DFT) pourrait employer.
    • Si votre fonction et le domaine sont pas périodique, vous ne devez pas utiliser la transformée de Fourier méthode spectrale. Si vous tentez de l'utiliser avec une fonction qui est pas périodique, vous obtiendrez de grandes erreurs et indésirables "sonnerie" des phénomènes.
    • Le calcul des dérivés de toute commande nécessite 1) une transformation à partir de la grille-espace de l'espace spectral (O(N log(N))), 2) la multiplication des coefficients de Fourier par leurs spectres wavenumbers (O(N)), et 2) une transformation inverse de l'espace spectral à la grille de l'espace (encore O(N log(N))).
    • Les soins doivent être prises lors de la multipliant les coefficients de Fourier par leurs spectres wavenumbers. Chaque mise en œuvre de l'algorithme de FFT semble avoir sa propre commande de l'spectrale des modes et de la normalisation des paramètres. Voir, par exemple, la réponse à cette question sur les Mathématiques StackExchange, pour les notes à ce sujet dans MATLAB.

    4. Quel niveau de précision que vous recherchez? Avez-vous besoin de calculer les dérivées à l'intérieur d'une tolérance?

    • À de nombreuses fins, 1ère ou 2ème ordre schéma aux différences finies peut être suffisant. Pour plus de précision, vous pouvez utiliser d'ordre supérieur Taylor expansions, à l'abandon d'ordre supérieur termes.
    • Si vous avez besoin de calculer les dérivées à l'intérieur d'une tolérance, vous pouvez regarder autour pour un régime qui a l'erreur dont vous avez besoin.
    • Souvent, la meilleure façon de réduire le risque d'erreur est la réduction de l'espacement de la grille dans un schéma aux différences finies, mais ce n'est pas toujours possible.
    • Être conscient que d'ordre supérieur des différences finies régimes ont presque toujours besoin de plus grand gabarit tailles (plus de voisins points). Cela peut provoquer des problèmes aux limites. (Voir la discussion ci-dessus sur les points fantômes.)

    5. Est-ce important pour vous que votre dérivés est évaluée sur les mêmes points que votre fonction est définie?

    • MATLAB fournit la diff fonction pour calculer les différences entre les éléments d'un tableau. Ceci peut être utilisé pour calculer approximative dérivés par l'intermédiaire d'un premier ordre de l'avant-différenciation (ou en avant des différences finies), mais les estimations sont d'ordre faible des estimations. Comme décrit dans MATLAB documentation de diff (lien), si vous en entrée un tableau de longueur N, il retournera un tableau de longueur N-1. Lorsque vous estimez dérivés de l'utilisation de cette méthode sur N points, vous n'aurez que des estimations de la dérivée N-1 points. (Notez que cela peut être utilisé sur des grilles, si elles sont triées dans l'ordre croissant.)
    • Dans la plupart des cas, nous voulons que les dérivés évalués à tous les points, ce qui signifie que nous voulons utiliser quelque chose de plus que la diff méthode.

    6. Avez-vous besoin de calculer plusieurs commandes de produits dérivés?

    • On peut mettre en place un système d'équations dans lequel le point de grille de valeurs de la fonction et de la 1ère et de 2ème ordre dérivés à ces points dépendent tous les uns des autres. Ce qui peut être trouvé par la combinaison de Taylor à l'expansion de nos voisins points comme d'habitude, mais en gardant le terme dérivé plutôt que de les annuler, et de les relier ensemble avec ceux des voisins points. Ces équations peuvent être résolues par l'algèbre linéaire pour donner non seulement la dérivée première, mais la seconde aussi bien (ou les ordres supérieurs, s'il est configuré correctement). Je crois que ceux-ci sont appelés combiné des différences finies régimes, et ils sont souvent utilisés en conjonction avec compact des différences finies régimes, qui sera discuté ci-après.
    • Compact de différence finie régimes (lien). Dans ces programmes, on met en place une matrice de conception et calcule les dérivés à tous les points simultanément à l'aide d'une matrice de résoudre. Ils sont appelés "compact", car ils sont généralement conçus de manière à exiger moins de pochoir de points qu'à l'ordinaire de différence finie de schémas d'une précision comparable. Parce qu'ils impliquent une matrice de l'équation qui relie tous les points ensemble, certaines compact de différence finie régimes sont, dit-on, "spectral, comme la résolution" (par exemple, Lele 1992 papier--excellent!), ce qui signifie qu'ils imitent spectrale des schémas en fonction de toutes les valeurs nodales et, de ce fait, ils maintenir l'exactitude à toutes les échelles de longueur. En revanche, typique des différences finies méthodes ne sont que localement exactes (la dérivée au point #13, par exemple, normalement, ne dépend pas de la valeur de la fonction au point n ° 200).
    • Une superficie actuelle de la recherche est la meilleure façon de résoudre pour de multiples dérivés dans un gabarit compact. Les résultats de cette recherche, combiné compact méthodes des différences finies, sont puissants et largement applicable, bien que de nombreux chercheurs ont tendance à accorder pour des besoins particuliers (la performance, la précision, la stabilité, ou un champ de recherche tels que la dynamique des fluides).

    Prêt-à-Go Routines

    • Comme décrit ci-dessus, on peut utiliser la diff fonction (lien de la documentation) pour calculer bruts dérivés entre les éléments d'un tableau.

    • MATLAB gradient routine (lien de documentation) est une excellente option pour de nombreuses fins. Il met en place une deuxième ordre, centrale différence de régime. Il a les avantages de l'informatique, des produits dérivés dans de multiples dimensions et le soutien arbitraire de l'espacement de la grille. (Merci à @thewaywewalk de remarquer cette omission manifeste!)

    • J'ai utilisé Fornberg de la méthode (voir ci-dessus) pour développer une petite routine (nderiv_fornberg) pour calculer des différences finies dans une dimension arbitraire de la grille des espacements. Je le trouve facile à utiliser. Il utilise le verso des pochoirs de 6 points dans les limites et centré à 5 points, pochoir à l'intérieur. Il est disponible à l'MATLAB d'Échange de Fichiers ici.

    Conclusion

    Le domaine du numérique, de la différenciation est très diversifiée. Pour chaque méthode décrite ci-dessus, il existe de nombreuses variantes avec leur propre ensemble d'avantages et d'inconvénients. Ce poste est à peine un traitement complet du numérique, de la différenciation.

    Chaque application est différente. J'espère que ce post donne au lecteur intéressé d'une liste organisée des considérations et des ressources pour le choix d'une méthode qui convient le mieux à leurs propres besoins.

    Ce wiki de la communauté pourrait être amélioré avec des extraits de code et des exemples particuliers de MATLAB.

    • Très complète. +1.
    • Le gradient fonction est manquant, à mon avis l'un des meilleurs choix.
    • Excellent point! Je vais l'ajouter tout de suite.
    • Je pense qu'il devrait être une mention de la différentiation automatique (en.wikipedia.org/wiki/Automatic_differentiation), car il est souvent plus précis et plus rapide que les autres méthodes. Il n'y a pas de méthode pour le faire livré avec matlab, mais beaucoup de solutions disponibles en ligne pour les deux avant et arrière automatique en mode de différenciation.
    • Merci, @y300. J'ai entendu parler de l'ANNONCE, mais n'ont jamais exploré. Il a certainement semble intéressant, et probablement de la peine à certains lecteurs. Pouvez-vous l'ajouter au post ci-dessus?
    • Salut, je serais trop heureux, donnez-moi un jour ou deux pour écrire quelque chose, c'est une grande technique, mais pas forcément facile à saisir par les gens.
    • Les points de Bonus si vous pouvez suggérer (ou lien) spécifiques des fonctions MATLAB qui ne ANNONCE! 🙂
    • J'avais fait l'amour à re-structure de cette réponse en deux sections (et mise à jour de la question en conséquence). La première section devrait décrire les différentes familles de méthodes avec leurs avantages/inconvénients. La deuxième section du pied de l'utilisateur à travers les diverses considérations qu'ils pourraient vouloir garder à l'esprit, et le point de méthodes qui sont bons pour des situations différentes. Ma réponse est actuellement structurée en plus comme la deuxième section, mais avec des morceaux de la première section jetés ici et là.
    • Hm. Je ne comprends pas ce que tu veux dire par à l'aide de FDM pour calculer un nombre dérivé. Dans ma vision du monde vous avez besoin d'numérique des instruments dérivés pour faire FDM!?
    • Je vous prends à-dire "des différences finies méthodes".) Je suis d'imaginer une situation dans laquelle on a un 1D grille de valeurs définie sur une grille dans cette dimension, et souhaite calculer numériquement la dérivée de la fonction qui a produit les données. Dans la plupart des cas, on a les données, ne connaît pas la forme de la fonction, mais il veut que la dérivée de cette fonction. Dans mon expérience, FDMs sont généralement utilisés pour l'estimation de la dérivée d'une fonction inconnue basé sur le jeu de données d'entrée (fi,xi), où fi:=f(xi). Si ce n'est pas répondre à votre question, je ne suis pas sûr de ce que tu veux dire.
    • Oui, c'est ce que je veux dire, mais je ne comprends toujours pas comment vous pouvez l'utiliser pour calculer une dérivée. Si tout ce que vous avez sont des points de données correspondant aux valeurs de fonction il n'y a pas moyen de faire la différenciation. Vous pouvez seulement deviner l'interpolation de la fonction avec un peu de méthode (localement, par exemple via des polynômes ou à l'échelle mondiale à l'aide de méthode spectrale ou autre chose) et puis faire du numérique dérivés sur l'aurez deviné fonction, mais cela veut dire qu'il n'y a pas de corriger dérivés plus. Pour moi, le concept de numérique dérivés besoin d'au moins une fonction qui peut être évaluée.
    • Je crois que je vois ce que vous dites. Vous faites une distinction entre ce que l'on pourrait appeler le "analytique des instruments dérivés évalués sur une grille" (ce que vous considérez être numérique "différenciation", et qui nécessiterait la connaissance de la fonction dérivable) et ce que je verrais comme "numérique d'estimation des instruments dérivés" (ne nécessitant pas la connaissance exacte de la fonction génératrice, mais seulement les valeurs de la fonction en certains points). Est-ce exact?
    • Oui. Je ne voudrais pas envisager la reconstruction de la fonction à partir de points de données dans le cadre de la numérique différenciation. Donc pour moi, c'est bizarre que vous de la liste FDM en tant que méthode numérique des instruments dérivés, comme ceux sont des méthodes qui permettent de résoudre des équations différentielles et doit faire utiliser (très spécifique) numérique des produits dérivés. (Peut-être que vous avez vraiment voulu faire un lien vers ceci et c'est là où ma confusion vient de...)
    • Laissez-nous continuer cette discussion dans le chat.
    • Le premier maillon d'une série de diapositives sur le méthode de différence finie est inapproprié, car nous ne parlons pas de la 2D pochoirs pour les ODEs ici à tous. Toutefois, le lien vers la FDM feuille de triche est utile, car il comprend des 1D pochoirs, qui est sur le sujet ici.
    • Sur "la reconstruction de la fonction à partir de points de données". Oui, cela arrive implicitement dans un tel dispositif. L'hypothèse implicite est que nous travaillons avec l'unique la plus basse fréquence de la reconstruction, c'est à dire que tous les composants de fréquence au-dessus de la fréquence de Nyquist sont de zéro. (Ceci s'applique surtout parfaitement à des fonctions périodiques, mais peut être étendue à la non-périodique cas dans le même esprit). Il est possible d'avoir un coup d'oeil à cette interpolation, par exemple par l'application de la DFT pour obtenir le spectre, puis remplissage avec des zéros (un multiple de N d'entre eux), puis en prenant l'inverse de la DFT.
    • Je ne suis pas sûr du lien que vous pensez est inapproprié. (Est-il celui-ci? Si oui, cela explique 1D pochoirs, pas 2D. De même pour plusieurs des autres liens que j'ai vérifié tout à l'heure.) Laissez-moi savoir et je serai heureux de changer le lien, si ce n'est pas d'actualité.
    • Oui, celle-là. La seule diapositives sont 12 à 14, tout le reste est un sujet différent. Plus important encore, cette référence ne couvre pas l'utilisation d'une plus grande 1D pochoirs pour obtenir plus élevée-de l'ordre de la précision.
    • Je vois ce que tu veux dire à propos de 2D pochoirs. Vous avez raison que les diapositives de 12 à 14 ans sont les plus appropriés pour cette SX question, mais j'attends les autres trucs encore être utile pour ceux qui peuvent être à la recherche à résoudre dépendant du temps des équations différentielles. Je vais modifier mon post bien de le préciser.

    InformationsquelleAutor
  2. 2

    Je crois qu'il n'est plus à ces questions. J'ai donc élaboré sur le sujet comme suit:

    (4) Q: Quel est le niveau de précision que vous recherchez? Avez-vous besoin de calculer les dérivées à l'intérieur d'une tolérance?

    Un: La précision numérique de la différenciation est soumise à l'application d'intérêts. Généralement la façon dont cela fonctionne est, si vous êtes en utilisant le ND de problème avant, rapprochant les produits dérivés pour estimer les caractéristiques du signal d'intérêt, alors vous devez être conscient de bruit perturbations. Généralement, ces artefacts contiennent des composants haute fréquence et par la définition de l'élément différenciateur, le bruit à l'effet sera amplifié dans l'ordre de grandeur de l'ordre de $i\omega^n$. Ainsi, l'augmentation de la précision de différenciation (en augmentant le polynôme de précision) sera d'aucun secours. Dans ce cas, vous devriez être en mesure de cancelt l'effet du bruit pour la différenciation. Cela peut être fait en casecade ordre: tout d'abord lisse le signal, et ensuite de les différencier. Mais une meilleure manière de faire ceci est d'utiliser des "passe-Bas de Différenciation". Un bon exemple de MATLAB bibliothèque peuvent être trouvés ici.

    Toutefois, si ce n'est pas le cas et que vous êtes en utilisant le ND de problèmes inverses, comme solvign PDEs, puis le mondial de l'exactitude de différenciation est très important. En fonction du type de bounady condition (c.-b.) convient à votre problème, le design sera adapté en conséquence. La règle de la thump est d'augmenter la précision numérique connu est le fullband élément de différenciation. Vous devez concevoir un dérivé de la matrice qui prend en charge adaptée de la colombie-britannique. Vous pouvez trouver des solutions globales à de telles conceptions en utilisant le lien ci-dessus.

    (5) est-ce important pour vous que votre dérivés est évaluée sur les mêmes points que votre fonction est définie?
    A: Oui, absolument. L'évaluation de la ND sur la même grille de points est appelé "centralisé" et des points "décalés" régimes. Notez que l'utilisation de bizarre ordre de dérivés, centralisé ND va s'écarter de l'exactitude de la réponse en fréquence de l'élément différenciateur. Par conséquent, si vous êtes en utilisant un tel design dans les problèmes inverses, cela va perturber votre rapprochement. Aussi, l'inverse s'applique pour le cas du même ordre de différenciation utilisé par l'étalement des régimes. Vous pouvez trouver des explications exhaustives sur ce sujet à l'aide du lien ci-dessus.

    (6) avez-vous besoin de calculer plusieurs commandes de produits dérivés?
    Cela dépend totalement de votre application. Vous pouvez vous référer à la même lien que j'ai fourni et de prendre soin de plusieurs dérivés de modèles.

    InformationsquelleAutor Mahdi S. Hosseini